Fases Topológicas de la Materia: Un Nuevo Horizonte en la Física Cuántica

Tradicionalmente, se reconoce a la materia en tres fases fundamentales: sólido, líquido y gas. La temperatura juega un papel crucial en la transformación de estas fases, indicando puntos de transición donde el hielo se derrite y el agua se evapora. Sin embargo, al acercarse al cero absoluto, donde la mecánica cuántica empieza a dominar, se descubre un amplio espectro de fases más complejas y sorprendentes, conocidas como fases topológicas.

Características de las Fases Topológicas

Las fases topológicas se distinguen porque sus propiedades no dependen de la composición química o de la estructura local del material, sino que son el resultado de su topología, una característica global que permanece inalterable ante transformaciones suaves (como estiramientos o aplastamientos, pero no cortes). Esta estabilidad les confiere potencial para aplicaciones en memorias cuánticas resistentes a errores y da lugar a cuasi-partículas que desafían las leyes tradicionales de los bosones y fermiones. Por lo tanto, el estudio y clasificación de estas fases topológicas es un foco de atención en física matemática.

Simetrías y Transiciones de Fase

Las simetrías del sistema cuántico son un factor determinante en el comportamiento de las fases cuánticas. Estas transformaciones—como rotaciones o cambios en el orden temporal—no alteran las propiedades fundamentales del sistema, una conclusión corroborada por el teorema de Emmy Noether, que establece una conexión vital entre simetría y conservación. Por ejemplo, la alineación de los espines de electrones al introducir un campo magnético externo ilustra una transición de fase donde el sistema se vuelve ferromagnético, marcando la ruptura de simetría detectada por el parámetro de orden de magnetización.

A diferencia de estas transiciones convencionales, las fases topológicas y sus transiciones no se explican mediante la ruptura de simetrías tradicionales. Se requiere un cambio en la representación de los estados cuánticos, introduciendo las redes de tensores, una herramienta matemática revolucionaria que describe las correlaciones cuánticas en un sistema.

Redes de Tensores: Una Herramienta Matemática Innovadora

Los tensores son una extensión de conceptos como vectores y matrices. Un vector es una lista ordenada de números y una matriz organiza datos en dos dimensiones. Un tensor de rango k generaliza esta idea a k dimensiones. En una red de tensores, a cada partícula del sistema se le asigna un tensor, y el estado cuántico total se obtiene contrayendo esos tensores, reflejando las interacciones entre las partículas.

Matthew Hastings demostró hace dos décadas que las redes de tensores ofrecen una descripción eficiente de los estados cuánticos en bajas temperaturas. Así, las propiedades de las fases topológicas están codificadas en los tensores que describen el estado y su simetría define las fases topológicas. Esto permite clasificar estas fases de acuerdo a las simetrías de los tensores que los representan como redes.

Desafíos Matemáticos en Dimensiones Superiores

La estructura matemática necesaria para comprender las simetrías de las redes de tensores va más allá de las simetrías clásicas asociadas con la teoría de grupos. En este contexto, las álgebras de Hopf débiles desempeñan un rol importante al capturar las propiedades de las cuasi-partículas emergentes.

Este enfoque ha permitido representar todas las fases topológicas conocidas en sistemas bidimensionales. En particular, ha facilitado el estudio de interacciones entre partículas en el estado de mínima energía conocido como estado RVB (Resonating Valence Bond State), propuesto por el Premio Nobel de Física Philip Warren Anderson. Este estado, considerado un ejemplo de fase topológica, podría ofrecer pistas sobre la superconductividad a alta temperatura. Solo a través de su representación como red de tensores, con una simetría de paridad, se han podido obtener interacciones que lo hacen realizable.

A pesar de los avances, la construcción de estructuras similares para caracterizar las fases topológicas en tres dimensiones sigue siendo un problema pendiente de gran interés científico. Las redes de tensores ofrecen una forma matemática natural para describir la materia cuántica más exótica.

David Pérez-García es profesor en la Universidad Complutense de Madrid, miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y académico de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España.

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y su entorno, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), donde se exploran los últimos avances en esta disciplina.